domingo, 8 de fevereiro de 2009

Lógica Matemática


braincode

Segundo definição da Wikipedia:

“A lógica (do grego clássico λογική, que significa palavra, pensamento, idéia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico), é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. (…) Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.”

A Lógica Matemática é o uso da lógica para entender o raciocínio matemático, usando princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos. Ou seja, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração, algo que vai muito além do simples “verdadeiro e falso”.

Esse tipo de raciocínio é mais importante do que parece. Um dos exemplos mais práticos é o uso na programação, nas expressões condicionais. Fica muito mais claro e rápido desenvolver e compreender expressões lógicas. Além disso, desenvolve-se o raciocínio da demonstração - demonstrar um raciocínio logicamente, tanto na informática, na matemática ou no dia-a-dia.

Vou colocar alguns princípios da lógica, pois é algo que realmente vale a pena conhecer.


Proposições

Primeiro, alguns princípios mais simples sobre a lógica. O primeiro deles, o conceito de uma proposição.

Precisamos considerar que uma proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

Ex: Gustavo Guanabara é professor.

O carro da estudande é azul.
O pato está ausente.


Toda proposição pode ser verdadeira, ou pode ser falsa. Não existe uma terceira opção. Esse é o princípio da não-contradição. Além disso, ela não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (isso não é física quântica). Ou seja, Gustavo Guanabara não pode ser e não ser professor ao mesmo tempo. Chamamos isso de princípio do terceiro excluído.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). As proposições simples são sempre indicadas por letras latinas minúsculas, sendo mais comuns as letras p, q, r, s…

Exemplos:

p: ” 3 + 5 = 2 ” ( F )
q: ” 7 + 5 = 12″ ( V)
r: ” O Sol é um planeta” ( F )
s: ” Um pentágono é um polígono de dez lados ” ( F )


Negação

O símbolo ~ representa uma negação lógica, e inverte o valor da proposição. Ou seja, temos a falsidade caso a proposição seja verdadeira e a veracidade se a proposição for falsa.

Se p é verdadeiro, (~p) é falso. Se q é falso, (~q) é verdadeiro.

Logicamente, podemos perceber que negar uma negação é o mesmo que escrever a própria proposição. Imagine o valor de (~(~q))… se estamos negando novamente uma proposição que já foi negada, temos de novo o valor da proposição.


Operações lógicas

Podemos formar novas proposições compostas através de outras proposições através de operações lógicas, usando os chamados conectivos. Os conectivos são símbolos. Veja abaixo:


^(e) - representa uma conjunção

A Terra é redonda e a neve é branca - p ^ q

No caso p e q são conjuntos


v (ou) - representa uma disjunção

A Terra é redonda ou a neve é branca - p v q

No caso p e q são disjuntos


-> (se… então) - representa uma implicação

Se a Terra é redonda, então a neve é branca - p -> q

No caso p é o antecedente e q é o consequente


<-> (se e somente se) - representa uma bi-implicação

A Terra é redonda se e somente se a neve é branca (p<-> q)
No caso p é o antecedente e q é o consequente

Talvez a lógica do “e” do “ou” não seja difícil de compreender, ainda mais para quem já está acostumado com algoritmos e programação.

Na prática, quando temos proposições unidas pelo conectivo “e”, o valor da proposição final é o seguinte:

- Verdadeiro quando somente os valores de todas proposições que a formam forem verdadeiros

- Falso nos demais casos.

Quando o conectivo usado é o “ou“, o valor da proposição final é:

- Verdadeiro quando pelo menos uma proposição é verdadeira,

- Falso quando o valor de todas as proposições é falso.


Tabela Verdade

Conhecendo os valores lógicos das proposições nas operações, podemos fazer uma determinação dos valores lógicos das proposições compostas através da chamada Tabela Verdade.

O procedimento é simples. O número de linhas que a tabela vai ter é sempre igual a 2 elevado ao número de proposições simples que existem na proposição composta. A idéia é sempre ir intercalando os valores de verdadeiro e falso de cada proposição, de forma que tenhamos todas as possibilidades. Veja só:


1- Tabela Verdade de ~ p :

Temos só uma proposição, que é “p”. Então, temos 2¹ = 2 linhas de tabela. Escrevemos os valores possíveis de “p”, e em seguida analisaremos o valor da proposição “~p” de acordo com os valores de “p”.

















p

~p


V

F

F

V



Simplesmente negamos o valor de “p” e escrevemos o resultado na coluna da proposição “~p”.Essa foi bem simples. Uma mais complicada:

2 - Tabela Verdade de (q v p) ^p

São duas proposições, “p” e “q”, então temos 2² = 4 linhas de tabela. Vamos primeiro verificar os valores da primeira operação, entre parênteses, e com os resultados dela analisar a segunda operação, sempre começando escrevendo os valores de cada proposição.


































q



p



(q v p)




(q v p) ^p



V



F



V




F



V



V



V




V



F



F



F




F



F



V



V




V



Escrevendo os valores de “p” e de “q”, fizemos os resultados de ” q v p”. E usamos essa coluna de resultados com a dos valores de “p” para fazer “(q v p) ^p”.

Claro que a brincadeira pode ir muito mais longe do que isso. Misturando mais proposições e outros conectivos, a coisa fica realmente interessante.



Extraído de: Guanabara.INFO



Nenhum comentário: